关于 Golomb 空间上的连续自映射与同胚

Golomb 空间 $\mathbb N_\tau$ 是正整数集 $\mathbb N$ 赋予由算术级数 $\{a+bn\}_{n=0}^\infty$(其中 $a,b$ 互素)构成的基所生成拓扑 $\tau$ 的空间。我们证明 Golomb 空间 $\mathbb N_\tau$ 具有连续统多个连续自映射，包含一个由无限闭连通子集构成的 countable 不交族，素数集 $\Pi$ 是 $\mathbb N_\tau$ 的稠密可度量子空间，且 $\mathbb N_\tau$ 的每个同胚 $h$ 具有以下性质：$h(1)=1$，$h(\Pi)=\Pi$ 且对所有 $x\in\mathbb N$ 有 $\Pi_{h(x)}=h(\Pi_x)$。此处 $\Pi_x$ 表示 $x$ 的素因子集。