关于不承认一般类型 Riesz 谱的有界集的构造

尽管指数 Riesz 基理论近期取得进展，至今未知是否存在集合 $S \subset \mathbb{R}^d$ 不承认 Riesz 谱，即对任意 $\Lambda \subset \mathbb{R}^d$，以 $\lambda\in\Lambda$ 的指数函数 $e^{2\pi i \lambda \cdot x}$ 组成的集合不是 $L^2(S)$ 的 Riesz 基。作为寻找此类集合的有意义一步，我们构造集合 $S \subset [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$，其不承认包含非空周期集（周期属于 $\alpha \mathbb{Q}_+$，对任意固定常数 $\alpha > 0$）的 Riesz 谱，其中 $\mathbb{Q}_+$ 表示所有正有理数之集。事实上，我们证明稍更一般的陈述：集合 $S$ 不承认包含固定公差属于 $\alpha \mathbb{N}$ 的任意长等差数列的 Riesz 谱。此外，我们证明给定任意具有正上 Beurling 密度的可数分离集族 $\Lambda_1, \Lambda_2, \ldots \subset \mathbb{R}$，可构造集合 $S \subset [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ 不承认 $\Lambda_1, \Lambda_2, \ldots$ 作为 Riesz 谱。我们结果的一个有趣推论如下：存在 Lebesgue 测度任意小的集合 $V \subset [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$，使得对任意 $N \in \mathbb{N}$ 及 $\{ 0, \ldots, N-1 \}$ 的任意真子集 $I$，以 $k \in \cup_{n \in I} (N\mathbb{Z} {+} n)$ 的指数函数 $e^{2\pi i k x}$ 组成的集合不是 $L^2(V)$ 的框架。结果基于 Olevskii 与 Ulanovskii 于 2008 年的证明技术。