关于无平方因子阶群的共轭类

寻找具有特定类数（共轭类数）$k(G)$ 的最大有限群的问题，自20世纪初以来已被众多研究者探讨，并已通过计算机求解至 $k(G) \leq 9$（对于单群限制至 $k(G) \leq 12$）。人们也试图给出 $|G|$ 关于 $k(G)$ 的一般上界。一般情形下已知最佳上界量级为 $|G| \leq k(G)^{2^{k(G)-1}}$。本文将这一长期问题的研究限制于无平方因子阶群。我们推导了任意无平方因子阶群的类数 $k(G)$ 的显式公式，并在该情形下获得估计 $|G| \leq k(G)^3$。结合两结果，我们得到一种高效方法来计算具有特定类数的群所能拥有的最大无平方因子阶。我们还提供了该算法的实现，以计算任意 $k(G)$ 下的最大无平方因子 $|G|$，并展示了 $k(G) \leq 100$ 所得结果。