再论完备化、 neat 嵌入与省略类型

本文利用代数逻辑的方法论和深刻的代数结果，证明了一阶逻辑有限变量片段的三个新的省略类型定理。作为一个示例，我们表明若 $T$ 是一个 $L_n$ 理论且 $|T|=\lambda$，其中 $\lambda$ 是正则基数，如果 $T$ 允许量词消去，则 $T$ 省略少于 $2^{\lambda}$ 个非孤立的极大类型。这基本上是 Shelah 的结果在 $L_n$ 上的限制，即不完全可表示的。我们还利用圆柱代数的彩虹构造表明，即使考虑团保护语义，省略类型定理在 $L_n$ 中也不成立。这是通过构造一个具有可数多个原子（即着色图）的原子代数 $\A\in \PEA_n$ 来实现的，其 Sc (Pinter) 约化不在 $S_c\Nr_n\Sc_{n+3}$ 中，但 $A$ 初等等价于一个可数的完全可表示的多adic 等式代数。本文通过 neat 嵌入给出了强可表示性与完全可表示性概念之间的多种联系。还给出了使用彩虹构造和 Monk 型代数的几个示例，以表明我们的结果是最佳的。作为一个示例，我们表明，假设某些有限关系代数存在，对于任意 $k\in \omega$，存在 $\A\in {\sf RPEA}_n\cap \Nr_n\PEA_{n+k}$ 使得 $\Rd_{\sf Sc}\Cm\At\A\notin S\Nr_n\Sc_{n+k+1}$。这意味着对于任意有限 $n\geq 3$ 和任意 $k\geq 0$，存在一个 $L_n$ 理论和一个类型 $\Gamma$，使得 $\Gamma$ 在每个 $n+k+1$ 相对化光滑模型中都被实现，但不能用 $n+k$ 个变量的见证来孤立。