代数逻辑简史：从 neat embedding 到 rainbow 构造

我们在代数逻辑中进行了一次漫长的奇妙之旅，从 Henkin、Monk 和 Tarski 关于 neat embedding 的经典成果出发，一直到使用 Hirsch 和 Hodkinson 发明的所谓 rainbow 构造在代数逻辑中取得的最新成果。本文强调了与图论、模型论和有限组合学的联系，力求以有望为广大读者所接受的方式呈现具有广泛兴趣的主题。本文具有综述性质，但也包含对旧问题的新处理方法。我们力求使综述相当全面，至少就 Tarski 代数逻辑，特别是柱代数理论而言是如此。其他主题，如抽象代数逻辑、模态逻辑以及代数逻辑中所谓的（中心）有限化问题也将被讨论；最后一个将作详细讨论。Rainbow 构造被用于解决涉及由具有 neat embedding 性质的代数组成的类柱代数的问题。迄今所得的结果推广了 Hirsch 和 Hodkinson 关于非原子规范性、非一阶可定义性和非有限可公理化的开创性成果，这些成果是针对维数 $>2$ 的可表示柱代数类证明的。我们证明，对于具有仅局部良好表现的相对化 {\it clique guarded} 表示的柱代数，此类结果依然成立。本文的撰写方式使得对 Tarski 代数逻辑前沿感兴趣的非专业人士也能理解。触及当前研究的边界，本文也旨在为从业者提供信息，甚至更进一步，激励其在主流代数逻辑中开展进一步研究。