关于赋权有向图环系理想的路多项式

在这项工作中，我们对任意赋权有向图 $D$ 的路多项式进行了分类，并根据 $D$ 的关联矩阵的子式显式计算了 $D$ 的路多项式。我们证明了任意赋权有向图 $D$ 的路多项式是对应于以下类别之一的本原多项式： 平衡圈， 共享一个顶点的两个非平衡圈， 由一条路径连接的两个非平衡圈， 共享一条路径的两个非平衡圈。我们显式证明了环系理想 $I_D$ 的本原多项式生成子关于 $D$ 的关联矩阵的子式的公式，其中 $D$ 如 所示。因此，我们显式计算了任意赋权有向图 $D$ 的所有路多项式 $\C_D$。如果 $D$ 是一个最多包含两个非平衡圈的赋权有向图，使得在 $D$ 中没有两个平衡圈共享一条路径，并且如果存在连接 $D$ 中两个非平衡圈的路径，则 $D$ 中没有平衡圈与该路径共享一条边，那么我们证明了 $I_D$ 是一个强鲁棒环系理想，并且它具有完全交初始理想。对于这类理想，我们显式计算了 Betti 数。