关于正交鞅的Burkholder函数与勒让德多项式的零点
经典分析与常微分方程
2011-10-11 v3 偏微分方程分析
摘要
Burkholder得到了通过E|Z|^p估计E|W|^p的尖锐结果，其中W是Z的鞅变换，或者换句话说，对于微分从属于鞅Z的鞅W。他的结果是E|W|^p ≤ (p^*-1)^p E|Z|^p，其中p^* = max(p, p/(p-1))。如果鞅具有正交鞅的额外性质，会发生什么？这个性质是函数柯西-黎曼方程的鞅类比，它自然地从奇异积分问题中出现（见第1节末尾的参考文献）。我们在此证明，在这种情况下常数完全不同。实际上，对于p ≥ 2，有E|W|^p ≤ ((1+z_p)/(1-z_p))^p E|Z|^p，其中z_p是勒让德常微分方程某个解的一个特定零点。我们还证明了该估计的尖锐性。渐近地，当p→∞时，(1+z_p)/(1-z_p) = (4j_0^{-2} + o(1))p，其中j_0是零阶贝塞尔函数的第一个正零点。这种与特殊函数（以及p=n(n+1)时的正交多项式）零点的联系相当出乎意料。
引用
@article{arxiv.1002.2314,
title = {On Burkholder function for orthogonal martingales and zeros of Legendre polynomials},
author = {Alexander Borichev and Prabhu Janakiraman and Alexander Volberg},
journal= {arXiv preprint arXiv:1002.2314},
year = {2011}
}
备注
35 pages, to appear in Amer. J. Math, some misprints corrected