由两点选择生成的拓扑之 Borel $\sigma$-代数研究

集合 $X$ 上的两点选择是一个函数 $f:[X]^2 \to X$，使得对每个 $F \in [X]^2$ 有 $f(F) \in F$。已知每个两点选择 $f:[X]^2 \to X$ 通过如下关系在 $X$ 上诱导一个拓扑 $\tau_f$：$x \leq y$ 当且仅当对每个 $x, y \in X$ 有 $f(\{x,y\}) = x$ 或 $x = y$。我们主要关注实直线 $\mathbb{R}$ 上的两点选择。本文研究由实直线上的两点选择 $f$ 所定义拓扑 $\tau_f$ 的 Borel $\sigma$-代数，每个记为 $\mathcal{B}_f(\mathbb{R})$。我们证明假设 $\mathfrak{c} = 2^{< \mathfrak{c}}$ 蕴含存在实直线上两点选择族 $\{ f_\nu : \nu < 2^\mathfrak{c} \}$，使得对不同的 $\mu, \nu < 2^\mathfrak{c}$ 有 $\mathcal{B}_{f_\mu}(\mathbb{R}) \neq \mathcal{B}_{f_\nu}(\mathbb{R})$。在假设 $\mathfrak{c} = 2^{< \mathfrak{c}}$ 且 $\mathfrak{c}$ 为正则基数下，我们还证明 $\mathbb{R}$ 上存在 $2^{2^\mathfrak{c}}$ 个包含 \[\mathbb{R}\]^{\leq \omega} 的 $\sigma$-代数，且其中无一为任何两点选择 $f: [\mathbb{R}]^2 \to \mathbb{R}$ 所诱导拓扑 $\tau_f$ 的 Borel $\sigma$-代数。文中给出若干例子以阐明这些 Borel $\sigma$-代数的某些性质。