离散粗空间的选元映射

给定具有有界子集 bornology $\mathcal B$ 的粗空间 $(X, \mathcal{E})$，我们将粗结构 $\mathcal E$ 从 $X\times X$ 扩展到 $(\mathcal B \backslash \lbrace \emptyset\rbrace)\times (\mathcal B \backslash \lbrace \emptyset\rbrace)$ 上的自然粗结构，并称宏一致映射 $f: (\mathcal B \backslash \lbrace \emptyset\rbrace)\rightarrow X$（相应地，$f: [ X]^2 \rightarrow X$）为 $(X, \mathcal{E})$ 的选元映射（相应地，2-选元映射），如果对每个 $A\in \mathcal B\setminus \lbrace\emptyset\rbrace$（相应地，$A \in [X]^2$）有 $f(A)\in A$。我们证明离散粗空间 $(X, \mathcal{E})$ 存在选元映射当且仅当 $(X, \mathcal{E})$ 存在 2-选元映射当且仅当在 $X$ 上存在线性序 $\leq$ 使得区间族 $\lbrace [a, b]: a,b\in X, \ a\leq b \}$ 构成 bornology $\mathcal B$ 的基。