关于李表示的一个 $n$-元推广与树 Specht 模

我们继续之前与 Richard Stanley 合作启动的研究，该研究关注对称群在自由 Filippov $n$-代数（具有 $k$ 个括号的自由李代数的一个 $n$-元推广）的多线性分量上的表示。我们的最终目标是确定该表示中不可约表示的重数。对于普通李表示（$n=2$ 情况），这已由 Kraskiewicz 和 Weyman 完成。$k=2$ 的情况在我们之前的工作中已处理，其中该表示被证明同构于 $S^{2^{n-1}1}$。在本文中，对于一般的 $n$ 和 $k$，我们获得了分解结果，使我们能够确定 $k=3$ 和 $k=4$ 情况下的重数。特别地，我们证明了在 $k=3$ 情况下，该表示同构于 $S^{3^{n-1}1} \oplus S^{3^{n-2}21^2}$。我们的主要结果表明，当 $n$ 超过 $k$ 时，重数在某种意义上是稳定的。作为证明这一点的重要工具，我们提出了两种涉及树的 Specht 模概念的推广。