关于 Lie($k$) 的推广：一个 CataLAnKE 定理

我们发起对对称群在自由 Lie 代数的 $n$ 元推广（我们称之为自由 LAnKE）的多重线性分量上表示的研究。我们的核心结果是，对称群 $S_{2n-1}$ 在具有 $2n-1$ 个生成元的自由 LAnKE 的多重线性分量上的表示由一个不可约表示给出，其维数为第 $n$ 个 Catalan 数。这导出了关于某个线性算子特征空间的更一般结果，并具有进一步的推论。作为核心结果的推论，我们还得到了阶梯形 Specht 模的一个新展示。