对称群代数介绍

本文为一门四学期的研究生课程编写，介绍对称群的代数结构。首先回顾群代数（及单子代数）的定义以及排列的基本性质，随后引入对称群代数 $\mathbf{k}[S_n]$ 中的若干元素族，如 Young--Jucys--Murphy 元素、（符号）积分以及共轭类和。随后章节论述群作用与表示论的基本概念，随后展开本文核心内容：对称群表示（即左 $\mathbf{k}[S_n]$-模）的研究，包括经典的 Young 表和 Young 对称化器理论。我们详细证明了包括特征为 0 时不可约表示的判别、Garnir 关系、标准基定理、Specht 模块偶导数的描述以及钩长公式等主要结论，以及若干较少人知的结果。最后，我们描述了由 Specht 模块研究所产生的 $\mathbf{k}[S_n]$ 的若干基，包括 Murphy 细胞基。所用方法为初等且计算性的。我们旨在尽可能少地假设基环 $\mathbf{k}$，尽可能少地依赖表示论（不超过 Maschke 定理和 Jordan--H"older 定理）。文中穿插着超过 100 道习题（无解答）。