关于高阶能量在 Sidon 集上的一个应用

我们证明，对任意有限集 $A$ 和任意 $\varepsilon>0$，存在 $k=k(\varepsilon)$ 使得高阶能量 ${\mathsf{E}}_k(A)$ 至多为 $|A|^{k+\varepsilon}$，除非 $A$ 具有非常特定的结构。作为一个应用，我们得到实数或素域的任意有限子集 $A$ 要么包含一个大小为 $|A|^{1/2+c}$ 的加法 Sidon 型子集，要么包含一个大小为 $|A|^{1/2+c}$ 的乘法 Sidon 型子集。