关于张量积样条投影的几乎处处收敛性

设 $d\in\mathbb N$，$f$ 是定义在 $\mathbb{R}^d$ 中单位立方体 $[0,1]^d$ 上的 Orlicz 类 $L(\log^+L)^{d-1}$ 中的函数。给定 $[0,1]$ 的划分 $\Delta_1,\ldots,$ $\Delta_d$，我们首先证明，当网格直径 $|\Delta_1|,\ldots, |\Delta_{d}|$ 趋于零时，具有任意阶数 $(k_1,\dots, k_d)$ 和节点 $\Delta_1,\ldots,\Delta_d$ 的张量积样条空间上的正交投影 $P_{(\Delta_1,\dots,\Delta_d)}(f)$ 几乎处处收敛于 $f$。这将 [Passenbrunner 和 Shadrin, Journal of Approximation Theory, 2014] 中的一维结果推广到了任意维。第二步，我们证明该结果是最优的，即对于任何“更大”的 Orlicz 类 $X=\sigma(L)L(\log^+ L)^{d-1}$（其中 $\sigma$ 是在无穷远处趋于零的任意函数），存在一个函数 $\varphi\in X$ 和单位立方体的划分，使得 $\varphi$ 的正交投影不几乎处处收敛。