关于通过树突相互作用的神经元玩具网络

考虑大量 $n$ 个神经元，每个神经元随机连接到大约 $N$ 个其他神经元。当一个神经元发放脉冲（其发生速率依赖于其电势并随机）时，其电势被置为最小值 $v_{min}$，并在一小段延迟后，在其所连接的所有神经元的（线性）树突上引发两个波前。波前以恒定速度移动。当两个波前（在同一神经元的树突上）碰撞时，它们湮灭。当一个波前击中神经元的胞体时，其电势增加一个微小值 $w_n$。在跳跃之间，假设神经元的电势根据某个适定的常微分方程在 $[v_{min},\infty)$ 中漂移。我们证明了当 $n,N \to \infty$ 且 $w_n \simeq N^{-1/2}$ 时，该系统一个启发式导出的平均场极限的存在性与唯一性。我们运用了 Deuschel 和 Zeitouni \cite{dz} 关于平面中独立同分布点集的最长递增子序列长度结果的若干近期版本。我们还在一个非常特殊的情形下研究了一个略有不同的模型，其中神经元在其电势达到某个最大值 $v_{max}$ 时发放脉冲，并找到了（启发式）平均场极限的显式公式。