关于多变量有理函数域的一个根式扩张

设 $F$ 为一个域，令 $F(X_1,\dots,X_n)$ 为 $F$ 上 $n$ 个变量 $X_1,\dots,X_n$ 的有理函数域。令 $T=X_1+\cdots+X_n\in F(X_1,\dots,X_n)$，并令 $m$ 为一个满足 $\text{char}\,F\nmid m$ 的正整数。是否可能将每个 $X_i$ 表示为 $X_1^m\dots,X_n^m$ 与 $T$ 在 $F$ 上的有理函数？证明这一点可以做到并不困难，但说明如何做到则是另一回事。我们以非构造性证明和构造性证明肯定地回答了上述问题。