无系数二阶cluster代数中的正性

设$b,c$为正整数，$x_1,x_2$为$\Z$上的未定元，且$x_m, m \in \mathbb Z$为由以下定义的有理函数：若$m$为奇数，$x_{m-1}x_{m+1}=x_m^b+1$；若$m$为偶数，$x_{m-1}x_{m+1}=x_m^c+1$。在这篇短文中，我们证明对于任意$m,k \in \Z$，$x_k$可以表示为$\Z[x_m^{\pm 1},x_{m+1}^{\pm 1}]$中无减法的Laurent多项式。这证明了Fomin-Zelevinsky关于无系数二阶cluster代数的正性猜想。