关于 Davenport 的一个问题及 $\mathbb{F}_q(t)$ 上的对角三次型

给定 $\mathbb{F}_q(t)$ 上非奇异对角三次超曲面 $X\subset\mathbb{P}^{n-1}$，其中 $\mathrm{char} (\mathbb{F}_q)\neq 3$，我们证明对 $n=6$ 高度至多为 $|P|$ 的有理点个数为 $O(|P|^{3+\varepsilon})$，对 $n=4$ 为 $O(\lvert P \rvert^{2+\varepsilon})$。事实上，若 $n=4$ 且 $\mathrm{char}(\mathbb{F}_q) >3$，我们证明远离 $X$ 中任一有理线的有理点个数以 $O(|P|^{3/2+\varepsilon})$ 为界。由 6 个变量的结果我们推得当 $\mathrm{char}(\mathbb{F}_q)>3$ 时 $\mathbb{F}_q(t)$ 上 $n\geq 7$ 的对角三次超曲面的弱逼近，并在 $\mathrm{char}(\mathbb{F}_q)\neq 3$ 时处理了 $\mathbb{F}_q(t)$ 上 7 个变量的立方的 Waring 问题。我们的结果回答了 Davenport 关于 $x_1^3+x_2^3+x_3^3 = x_4^3+x_5^3+x_6^3$（其中 $x_i \in \mathbb{F}_q[t]$）有界高度解个数的一个问题。