关于Tupper公式在$m$种颜色与$n$维情形下的推广

Tupper公式 $\frac{1}{2}<\bigg\lfloor \bmod \bigg(\lfloor \frac{y}{17}\rfloor 2^{-17\lfloor x \rfloor -\bmod (\lfloor y \rfloor,17)},2\bigg)\bigg\rfloor$ 具有一个有趣的性质：对于任意可用维度为$106\times 17$的二维数组中的像素表示的单色图像，存在一个自然数$k$，使得该方程在$0\leq x <106$且$k\leq y<k+17$范围内的图形正是该图像。在本文中，我们给出对$m$种颜色与$n$维的推广。我们给出由$n$个自由变量构成的$m$个公式，其性质为：对于任意由$m$种颜色$C_1,\cdots, C_m$构成、且可用维度为$A_1\times \cdots \times A_n$的$n$维数组中的超体素（像素的多维类比）表示的$n$维物体，存在一个自然数$k$，使得当第一个公式以颜色$C_1$作图、第二个公式以颜色$C_2$作图、$\cdots$、$m$个公式以颜色$C_m$作图于范围$0\leq x_1<A_1$,$0\leq x_2<A_2,\cdots, 0\leq x_{n-1}<A_{n-1},k\leq x_n <k+A_n$内时，所有图形的并集即为该$n$维物体。