最简三次域上的一族单位方程

设 $a\in \mathbb{Z}$ 且 $\rho$ 为 $f_a(x)=x^3-ax^2-(a+3)x-1$ 的根，则数域 $K_a=\mathbb{Q}(\rho)$ 称为最简三次域。本文考虑单位方程族 $u_1+u_2=n$，其中 $u_1,u_2\in \mathbb{Z}[\rho]^*$ 且 $n\in \mathbb{Z}$。在限制 $|n|\leq \max\{1,|a|^{1/3}\}$ 下，我们完全求解了该单位方程。