关于Butler和Graham的一个猜想

受Iwasawa [Iwasawa10]提出的一个猜帽子问题的启发，Butler和Graham [Butler11]提出了以下关于在$[k]^n$中标记坐标线存在性的猜想：只要参数$(a,b,n,k)$满足存在非负整数$s$和$t$使得$s+t = k^n$且$as+bt = nk^{n-1}$，就存在一种在$[k]^n$中的每条坐标线上标记一个点的方法，使得$[k]^n$中的每个点恰好被标记$a$次或$b$次。本文中，我们对任意素数$k$证明了这个猜想。此外，我们对一般$k$在$a=0$的情形证明了该猜想。