关于玻尔兹曼方程的一类自相似解

我们考虑一类具有以下形式的分布函数：$f(v,t)=t^{-dat} F(v e^{-at} )$, $a=\mathrm{const.}$,其中 $v$ 和 $t$ 分别表示粒子速度与时刻。这类关于 Maxwell 分子的空间均匀玻尔兹曼方程(BE)的自相似解由 Bobylev 与 Cercignani 在 2000 年代初研究过。这些解为正,但具有无穷二阶矩(能量)。然而,具有相同形式但能量有限的分布函数类似乎与空间非均匀 BE 中一类截然不同的群不变解密切相关。这正是考虑所谓修正空间均匀 BE 的动机,该方程含有一个正比于矩阵 $A$ 的额外力项。修正 BE 近期在“范数 $\|A\|$ 充分小”的假设下被研究,但未给出小量的显式估计。我们填补了这一空白,并证明与自相似解相关的所有重要事实对于适中的 $\|A\|$ 值同样成立。