一类具有非线性产生的二维趋化排斥模型

在本文中，我们研究如下具有非线性产生的抛物型趋化排斥模型： $$\left\{ \begin{array}{rcl} \partial_tu-\Delta u&=&\nabla\cdot(u\nabla v),\\ \partial_tv-\Delta v+v&=&u^p+fv\, 1_{\Omega_c}. \end{array} \right.$$ 该问题与双线性控制问题相关，其中状态 $(u,v)$ 分别为细胞密度和化学浓度，控制 $f$ 以双线性形式作用于化学方程。对于 $2D$ 区域，我们首先考虑二次信号产生（$p=2$）的情形，证明了对每个控制存在唯一的全局强状态解，以及全局最优解的存在性。随后，我们通过拉格朗日乘子定理推导出任意局部最优的最优性系统，证明了拉格朗日乘子的正则性。最后，我们考虑信号产生 $u^p$ 且 $1<p<2$ 的情形。