二维三次 - 五次 Allen-Cahn 方程的数值延拓与 SPDE 稳定性
动力系统
2017-02-28 v3 数值分析
概率论
斑图形成与孤子
计算物理
摘要
我们研究了具有三次 - 五次非线性项和随机 -迹类随机强迫的二维 Allen-Cahn 方程。该随机偏微分方程 (SPDE) 被用作测试案例，以理解如何将数值延拓方法推广到 SPDE 情形。首先，我们计算了该偏微分方程 (PDE) 的确定性分岔图，即无随机强迫的情形。在这种情况下，当线性阻尼项变化时，存在两个局部渐近稳定的稳态解分支。随后，我们考虑了 SPDE 稳态附近局部线性化系统的 Lyapunov 算子方程。我们利用有限差分与谱噪声近似相结合的方法对完整 SPDE 进行离散化，从而获得一个有限维的随机常微分方程 (SODEs) 系统。该大型 SODEs 系统用于通过协方差矩阵近似 Lyapunov 算子方程。协方差矩阵沿两个分岔分支进行数值延拓。我们表明可以量化沿分支的随机波动。我们还演示了分岔点和折叠点附近的标度律。此外，我们进行了计算测试，表明即使在次优的计算设置下，我们也能在标准桌面计算机设置上量化确定性稳态在随机强迫下的亚指数时间尺度波动。因此，所提出的 SPDE 数值延拓方法具有对时空随机系统进行快速参数不确定性量化的潜力。
引用
@article{arxiv.1408.4000,
title = {Numerical Continuation and SPDE Stability for the 2D Cubic-Quintic Allen-Cahn Equation},
author = {Christian Kuehn},
journal= {arXiv preprint arXiv:1408.4000},
year = {2017}
}
备注
revised version, 30 pages, 11 figures [movie not included due to arXiv size limitations]