tempered 分数阶拉普拉斯算子的数值逼近：误差分析与应用

在本文中，我们提出一种精确有限差分方法来离散化 $d$ 维（对于 $d\ge 1$）tempered 积分分数阶拉普拉斯算子，并将其应用于研究 tempered 效应对各种应用中出现的问题解的影响。与其他现有方法相比，我们的方法具有更高精度和更简单的实现。我们的数值方法在 $u \in C^{0, \alpha+\epsilon} (\bar{\Omega})$（若 $\alpha < 1$）或 $u \in C^{1, \alpha-1+\epsilon} (\bar{\Omega})$（若 $\alpha \ge 1$）且 $\epsilon > 0$ 时具有 $O(h^\epsilon)$ 的精度，给出了最小相容性条件。若 $u \in C^{2, \alpha+\epsilon} (\bar{\Omega})$（当 $\alpha < 1$）或 $u \in C^{3, \alpha - 1 + \epsilon} (\bar{\Omega})$（当 $\alpha \ge 1$），精度可提升至 $O(h^2)$。数值实验证实了我们的分析结果，并为求解 tempered 分数阶 Poisson 问题提供了见解。这表明，要达到二阶精度，我们的方法仅要求解 $u \in C^{1,1}(\bar{\Omega})$（对任意 $0<\alpha<2$）。此外，若 tempered 分数阶 Poisson 问题的解满足 $u \in C^{p, s}(\bar{\Omega})$（$p = 0, 1$ 且 $0<s \le 1$），我们的方法具有 $O(h^{p+s})$ 的精度。由于我们的方法产生一个（多层）Toeplitz 刚度矩阵，可通过快速傅里叶变换设计快速算法以进行高效模拟。最后，我们将其与快速算法结合，研究 tempered 效应对各种 tempered 分数阶偏微分方程（包括 Allen-Cahn 方程和 Gray-Scott 方程）解的影响。