SE(2)上线性左不变扩散的数值方法、与精确解的比较及其在视网膜成像中的应用
数值分析
2016-05-27 v7 计算机视觉与模式识别
摘要
旋转平移群上的左不变偏微分方程演化（及其预解方程）已在皮层建模和图像分析领域得到广泛研究。它们包括Citti & Sarti和Petitot提出的亚椭圆扩散（用于轮廓增强），以及Mumford提出的方向过程（用于轮廓完成）。本文对许多数值方法进行了彻底的研究和比较，这在文献中明显缺失。现有的数值方法可分为三类：有限差分法、基于傅里叶的方法（等价于-傅里叶方法）和随机方法（蒙特卡洛模拟）。还有三种类型的精确解，这些解在Duits和van Almsick 2005年的工作中明确推导出来（在空间傅里叶域）。这里我们概述了这三种类型的精确解，并解释了它们如何与三种数值方法相关联。我们计算了所有数值方法相对于精确解的相对误差，基于傅里叶的方法显示出最佳性能，相对误差最小。我们还改进了用于计算马蒂厄函数的Mathematica算法，这对精确解的实现至关重要。此外，我们包括了对核内奇点的渐近分析，并提出了底层随机过程的概率扩展，克服了时间积分核在原点处的奇异行为。最后，我们展示了将左不变偏微分方程演化与可逆方向得分相结合的视网膜成像应用。
引用
@article{arxiv.1403.3320,
title = {Numerical Approaches for Linear Left-invariant Diffusions on SE(2), their Comparison to Exact Solutions, and their Applications in Retinal Imaging},
author = {Jiong Zhang and Remco Duits and Gonzalo Sanguinetti and Bart M. ter Haar Romeny},
journal= {arXiv preprint arXiv:1403.3320},
year = {2016}
}
备注
A final and corrected version of the manuscript is Published in Numerical Mathematics: Theory, Methods and Applications (NM-TMA), vol. (9), p.1-50, 2016