余切丛的数值维数与 Kodaira 维数

我们猜想紧 Kähler 流形 $X$ 的余切丛的数值维数 $\nu_1^*(X)$ 与 Kodaira 维数 $\kappa_1^*(X)$ 相等,推广了典范丛的经典情形。对于一些特殊流形,我们证明或将其归约为典范丛的经典情形:其中包括有理连通的流形,或具有 klt 奇点且第一陈类平凡的簇的分解,在后一种情形我们证明 $\nu_1^*(X)=\kappa_1^*(X)=q'(X)-dim(X)$,其中 $q'(X)$ 是 $X$ 的有限 étale 覆盖的最大不规则度。证明依赖于 Beauville-Bogomolov 分解,以及对复环面被有限群商 $A/G$ 的光滑模型的直接计算。我们猜想这些等式在更一般的情形 $X$ 为“特殊的”时也成立。不变量 $\kappa_1^*$ 已由 Fumio Sakai 在 [43] 中引入并研究,前述猜想在 $\kappa_1^*(X)=-dim(X)$ 时的特例已在 [29] 中引入并研究。