数字及其快乐高度
数论
2018-03-16 v4
摘要
广义快乐函数 Se,b 将正整数映射为其基 b 表示下各数位数字的 e 次幂之和。我们称 x 为一个基 b、e 次幂、高度 h、u 吸引数，如果 h 是满足 Se,bh(x)=u 的最小正整数。快乐数则是基10、2次幂、任意高度的1吸引数。令 σh,e,b(u) 表示在固定基 b 和指数 e 下最小的 height h、u 吸引数，并令 g(e) 表示最小的数，使得任意整数可写为 x1e+x2e+...+xg(e)e（其中 x1,x2,...,xg(e) 为某些非负整数）。本文中我们证明：若 pe,b 是满足 bpe,b>g(e) 的最小非负整数，d=⌈1−(b−1b−2)eg(e)+1+e+pe,b⌉，且 σh,e,b(u)≥bd，则 Se,b(σh+1,e,b(u))=σh,e,b(u)。
引用
@article{arxiv.1511.01441,
title = {Numbers and the Heights of their Happiness},
author = {May Mei and Andrew Read-McFarland},
journal= {arXiv preprint arXiv:1511.01441},
year = {2018}
}