负基数下连续快乐数的序列

对于 $b\leq -2$ 和 $e \geq 2$，令 $S_{e,b}:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_{\geq 0}$ 为将整数映射到其基 $b$ 展开的数字的 $e$ 次幂之和的函数。若存在 $k\in\mathbb{Z}^+$ 使得 $S_{2,b}^k(a) = 1$，则整数 $a$ 是 $b$-快乐数。我们证明一个整数是 $-2$-快乐数当且仅当它模 3 同余于 1，并且它是 $-3$-快乐数当且仅当它是奇数。定义 $d$-序列为公差 $d$ 的等差数列，并令 $d = \gcd(2,b - 1)$，我们证明若 $b \leq -3$ 为奇数或 $b \in \{-4,-6,-8,-10\}$，则存在任意长的有限 $d$-连续 $b$-快乐数序列。