Kummer 结构的数量与广义 Kummer 曲面的模空间

广义 Kummer 曲面 $X=Km_{3}(A,G_{A})$ 是一个 $2$ 维复环面被一个 $3$ 阶辛自同构群 $G_{A}$ 商去后的极小分解。X 上的一个 Kummer 结构是指满足 $X\simeq Km_{3}(B,G_{B})$ 的二元组 $(B,G_{B})$ 的同构类。当该曲面为代数曲面时，我们得到 Kummer 结构的数量与某个自然关联于 $A$ 的 Shimura 曲线上的 $3$ 阶椭圆点数量相联系。对每个 $n\in\mathbb{N}$，我们得到广义 Kummer 曲面 $X_{n}$，其 Kummer 结构数量为 $2^{n}$。随后我们给出广义 Kummer 曲面模空间的分类。当曲面非代数时，只有一个 Kummer 结构，但此类曲面的模空间不可约分支数量相较代数情形要大得多。我们所研究的复 $2$ 维环面的自同态环主要为四元数序，这些序包含 Eisenstein 整数环。也可将本文视为对包含 Eisenstein 整数环的 $\mathbb{Q}$ 上四元数序 $\mathcal{O}$ 的研究。我们得到此类序在同构意义下由其判别式确定，且当四元数代数为不定型时，序 $\mathcal{O}$ 为主序。