算子系统中的核性相关性质

关于算子系统的张量积及其随之而来的核性性质的一些近期研究引发了许多稳定性问题。本文考察了这些核性性质（包括正合性、局部可提升性和双重交换子期望性质）在商、对偶、余积和张量积等基本代数运算下的保持情况。我们证明，在有限维情形下，正合性与提升性质是对偶对，即一个算子系统 $S$ 是正合的当且仅当其在对偶算子系统 $S^d$ 具有提升性质。此外，提升性质在除以零子空间所得的商下得以保持。同样在有限维情形下，我们证明每个算子系统都具有 k-提升性质，即只要 $f:S -> A/I$ 是一个单位且完全正映射，其中 A 是一个 C*-代数，I 是一个理想，那么对于每个 k，$f$ 在 A 上都存在一个单位 k-正提升。这一性质为 Smith 和 Ward 关于算子矩阵数值域保持的经典结果提供了一个新颖的证明。Kirchberg 猜想自然地落入这一背景。我们证明 Kirchberg 猜想等价于如下陈述：由两个压缩生成的正维泛算子系统（$S_2$）具有双重交换子期望性质。除此之外，我们给出了该猜想的若干等价陈述，涉及各种核性性质在基本代数运算下的保持。我们证明 Smith-Ward 问题等价于每个三维算子系统都具有提升性质（或正合性）这一陈述。如果我们假设 Kirchberg 猜想和 Smith-Ward 问题都有肯定答案，那么这将意味着每个三维算子系统都是 C*-核的。