纯C*-代数的核维数与Z-稳定性

本文研究简单C*-代数的一系列拓扑和代数维数型性质及其相互关系。特别地，一个简单C*-代数被定义为（迹）$(m,\bar{m})$-纯的，如果它具有（强迹）$m$-比较性并且是（迹）$\bar{m}$-几乎可分的。这些概念彼此相关，并与核维数相关。主要结果表明：如果一个可分的、简单的、非初等的、单的、具有局部有限核维数的C*-代数$A$是$(m,\bar{m})$-纯的，那么它张量吸收Jiang-Su代数$Z$。由此可得，$A$是$Z$-稳定的当且仅当它具有$Z$-稳定C*-代数的Cuntz半群。该结果可视为Kirchberg著名定理的一个版本，即可分的、简单的、核的、纯无穷的C*-代数张量吸收Cuntz代数$O_\infty$。作为推论，我们得到：对于可分的、简单的、非初等的、单的C*-代数，有限核维数蕴含$Z$-稳定性；这解决了Toms与作者提出的一个猜想的重要情形。该主要结果对Elliott用K-理论数据分类核C*-代数的纲领也有若干推论。特别地，它完成了对具有慢维数增长的简单、单的、近似齐次代数按其Elliott不变量进行的分类，这是Elliott-Gong-Li对简单AH代数分类中遗留的一个问题。另一个推论是：对于简单、单的、近似次齐次代数，慢维数增长与$Z$-稳定性等价。在投影分离迹的情形下，这完成了对具有慢维数增长的简单、单的、近似次齐次代数按其有序K-群的分类。