二维PL几何范畴计算问题的NP困难性

多面体 $P$ 的PL几何范畴记为 $\hbox{plgcat}(P)$，为 Lusternik--Schnirelmann 范畴提供了自然上界，其定义为覆盖 $P$ 的PL可折叠子多面体的最小个数。在二维情形，PL几何范畴至多为3。刻画/识别满足 $\hbox{plgcat}(P) = 1$ 的 $2$-多面体 $P$ 是容易的。Borghini 给出了满足 $\hbox{plgcat}(P) = 2$ 的 $2$-多面体的部分刻画。我们补充其结果，证明判定 $\hbox{plgcat}(P)\leq 2$ 是NP困难的。因此，至少从算法意义上，我们不应期望多于部分刻画。我们的归约基于如下观察：承认可壳化细分的二维多面体 $P$ 满足 $\hbox{plgcat}(P) \leq 2$，以及对 Goaoc、Pat\'{a}k、Pat\'{a}kov\'{a}、Tancer 和 Wagner 关于 $2$-复形的可壳化性为NP困难的归约的非平凡修改。