关于局部规范场论 $L_\infty$ 方法的札记

众所周知，$Q$-流形在同调向量场不动点处的切空间上导出 $L_\infty$-代数结构。从场论视角看，这意味着经典 Batalin-Vilkovisky（BV）表述围绕真空解的展开并可等价改写为 $L_\infty$-代数形式。如此，BV 辛结构决定了 $L_\infty$-代数上的相容循环结构。此外，$L_\infty$ 拟同构对应于相应 BV 系统的所谓等价约化（亦称广义辅助场消去）。尽管在形式层面关系直白，其在场论中的实现需审慎，因为底空间变为无限维。对局部规范理论，相关空间可借射丛技术近似为近有限维空间。本文研究射丛 BV 方法的 $L_\infty$ 对应，并将其推广至所谓规范 PDE 的更灵活框架。结果表明，后一情形下底层 $L_\infty$ 结构类似于 Chern-Simons 理论：底线性空间是时空外代数上的模，高阶 $L_\infty$ 映射为多线性。进而，循环结构的对应物为退化且可能非线性，并对应于相容预辛结构，后者已知编码 BV 辛结构乃至完整拉格朗日 BV 表述。此外，给定退化循环结构，可一致地放宽 $L_\infty$ 公理，使形式体系仍描述非拓扑模型但仅涉及有限生成模，我们以 Yang-Mills 理论为例予以说明。