关于模 $p^s$ 的 KZ 方程解及 $p$-进极限 $s\to\infty$ 的注记

我们考虑 $\mathbb C$ 上的 KZ 方程，此时超几何解为亏格 $g$ 的超椭圆积分。于是解空间为 $2g$ 维复向量空间。我们还考虑模 $p^s$ 的同样方程，其中 $p$ 为奇素数、$s$ 为正整数，以及 $p$-进数域 $\mathbb Q_p$ 上的方程。我们构造了模 $p^s$ 的 KZ 方程的多项式解，并研究了所有已构造解构成的空间 $\mathcal M_{p^s}$。我们证明当 $s\to\infty$ 时 $\mathcal M_{p^s}$ 的 $p$-进极限给出了 $\mathbb Q_p$ 上 KZ 方程的一个 $g$ 维解空间。$\mathbb Q_p$ 上的解是关于 KZ 方程某一渐近区的幂级数。在由 Steven Sperber 共同撰写的附录中，我们考虑了 $g=1$ 即椭圆积分情形下的 KZ 方程的所有渐近区。当 $s\to \infty$ 时 $\mathcal M_{p^s}$ 的 $p$-进极限在每个渐近区都给出 $\mathbb Q_p$ 上的一维解空间。我们应用 Dwork 理论，并证明我们在不同渐近区定义的 $\mathbb Q_p$ 上解的芽解析延拓为相伴 KZ 联络的单一整体不变线子丛。注意 $\mathbb C$ 上的相应 KZ 联络没有适当的非平凡不变子丛，因此我们的不变线子丛是 $\mathbb Q_p$ 上 KZ 方程的新特征。我们描述了 $g=1$ 时 KZ 方程解的 Frobenius 变换，并由此恢复有限域 $\mathbb F_p$ 上由方程 $y^2= \beta \,x(x-1)(x-\alpha)$ 定义的椭圆曲线的 zeta 函数的单位根。其中 $\alpha,\beta\in\mathbb F_p^\times, \alpha \ne 1$。