关于残差极小化中精确边界值的注记

我们分析了在具有神经网络型试探函数的偏微分方程残差极小化中，使用精确边界值与惩罚边界值在收敛模式上的差异，这在物理信息神经网络背景下是常见做法。已知使用 $L^2$ 边界惩罚会导致 $3/2$ 的正则性损失，意味着在 $H^2$ 中的逼近给出 $H^{1/2}$ 中的先验估计。这些注记展示了如果试探函数类中的函数精确满足边界值，如何规避这种正则性损失。此外，表明在这种情况下，损失函数提供了由残差极小化方法产生的 $H^2$ 范数下的一致后验误差估计子。我们给出了线性时间相关问题上的类似结果，并讨论了在 Sobolev 范数下度量残差的含义。