参数化PDE的变分正确神经残差回归：可控精度的可行性
数值分析
2024-05-31 v1 数值分析
摘要
本文研究学习偏微分方程（PDE）系统的参数到解映射，这些系统依赖于可能大量的参数，涵盖所有能找到稳定变分公式（SVF）的PDE类型。一个核心要素是变分正确残差损失函数的概念，意味着其值始终与由SVF确定的范数中的平方解误差均匀成正比，从而便于严格的验后精度控制。它基于一个单一的变分问题，与参数依赖的纤维问题族相关联，采用希尔伯特空间直接积分的概念。由于在其原始形式中，损失函数被给出为残差的对偶测试范数，一个核心目标是开发等价的可计算表达式。第一个关键作用由混合假设类扮演，其元素在（低维）时空变量上是分段多项式，具有可由神经网络等表示的参数依赖系数。其次，使用一阶SVF，我们区分两种情景：（i）测试空间可以选择为空间（例如对于椭圆或抛物问题），使得残差存在于中并且可以直接评估；（ii）当纤维问题的试验和测试空间（例如对于输运方程）依赖于参数时，我们使用超弱公式。结合不连续Petrov-Galerkin概念，混合格式随后有助于得到变分正确的可计算残差损失函数。我们的发现通过数值实验加以说明，代表（i）和（ii），即具有分段常数扩散系数的椭圆边值问题和具有参数依赖对流场的纯输运方程。
引用
@article{arxiv.2405.20065,
title = {Variationally Correct Neural Residual Regression for Parametric PDEs: On the Viability of Controlled Accuracy},
author = {Markus Bachmayr and Wolfgang Dahmen and Mathias Oster},
journal= {arXiv preprint arXiv:2405.20065},
year = {2024}
}