一种利用神经网络求解偏微分方程的深度傅里叶残差方法
数值分析
2022-10-26 v1 数值分析
偏微分方程分析
摘要
当使用神经网络作为试函数数值求解偏微分方程时，一个关键的选择是要最小化的损失函数，它理想情况下应对应于误差的范数。在多个问题中，该误差范数与残差的 范数一致或等价；然而，往往难以精确计算它。本文假设矩形域，并提出使用离散正弦/余弦变换来精确且高效地计算 范数。所得的基于深度傅里叶的残差（DFR）方法高效且精确地逼近偏微分方程的解。当解缺乏 正则性且涉及偏微分方程强形式的格式失效时，这一点尤为有用。我们观察到，训练过程中 误差与离散化损失高度相关，从而可通过损失进行精确的误差估计。
引用
@article{arxiv.2210.14129,
title = {A Deep Fourier Residual Method for solving PDEs using Neural Networks},
author = {Jamie M. Taylor and David Pardo and Ignacio Muga},
journal= {arXiv preprint arXiv:2210.14129},
year = {2022}
}