神经网络双范数用于最小残差有限元方法
数值分析
2025-09-23 v1 数值分析
摘要
针对残差位于偶极空间的偏微分方程，最小残差方法在保证稳定性方面具有技术难度。本文提出一种最小残差有限元方法，其中解空间为标准有限元空间，但采用神经网络作为残差偶极范数的测试函数。神经网络的使用提高了残差表示器的逼近精度，从而提升了方法的稳定性。本文通过一种深度残差阿扎算法实现了混合方法，该算法在有限元更新与神经网络训练之间交替进行。我们证明了阿扎方法论方法的一致性和收敛性，并给出一个以恰当福因兼容条件为依据的先验误差估计。数值实验表明，在面对剪切-反应问题及其奇异或不可连续数据时，所提框架能够提供稳健且精确的近似解。
引用
@article{arxiv.2509.16961,
title = {Neural Network Dual Norms for Minimal Residual Finite Element Methods},
author = {Hamd Alsobhi and Emin Benny-Chacko and Ignacio Brevis and Kristoffer G. van der Zee},
journal= {arXiv preprint arXiv:2509.16961},
year = {2025}
}