通过神经网络学习参数到解映射的 DPG 损失函数
数值分析
2025-06-24 v1 机器学习
数值分析
摘要
我们发展、分析和实验探索了用于参数依赖偏微分方程族中的参数到解映射机器学习的残差基损失函数。我们的主要关注点是对严格精度认证以提高所得深度神经网络简化模型的预测能力。这通过使用variationally 正确的损失函数来实现。通过具体的一个椭圆 PDE 例子，详尽地推导了如何从ultraweak 不连续 Petrov Galerkin (DPG) 离散化中建立损失函数的variational 正确性。尽管聚焦于该例子，提出的概念适用于更广泛的范围的问题，即可获得稳定 DPG 公式的问题。讨论了高对比度扩散场及其导致椭圆性下降的困难。无论是数值结果还是理论论证都表明，对于高对比度扩散参数，所提出的 DPG 损失函数比更简单的最小二乘损失函数具有更强的鲁棒性。
引用
@article{arxiv.2506.18773,
title = {DPG loss functions for learning parameter-to-solution maps by neural networks},
author = {Pablo Cortés Castillo and Wolfgang Dahmen and Jay Gopalakrishnan},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.18773},
year = {2025}
}