求解时谐麦克斯韦方程组的深度傅里叶残差法
数值分析
2023-05-17 v1 数值分析
摘要
用机器学习技术求解偏微分方程(PDEs)已成为传统方法之外一种流行的替代方案。在此背景下,神经网络(NNs)是最常用的机器学习工具之一,而在这些模型中,选择合适的损失函数至关重要。一般而言,主要目标是保证训练期间最小化损失以相同速率转化为最小化解的误差。本工作中,我们关注时谐麦克斯韦方程组,其弱形式以 H(curl) 作为试探函数空间。我们提出一种神经网络,其损失函数是对弱形式 PDE 残差的对偶范数的可计算逼近。为此,我们采用 H(curl) 空间的亥姆霍兹分解,并在二维和三维空间中对这一空间构造正交基。这里,我们使用离散正弦/余弦变换来准确高效地计算所提损失函数的离散版本。此外,在数值算例中,我们展示了所提损失函数与误差的 H(curl)-范数之间的高度相关性,即使在低正则性解的问题中也是如此。
引用
@article{arxiv.2305.09578,
title = {Deep Fourier Residual method for solving time-harmonic Maxwell's equations},
author = {Jamie M. Taylor and Manuela Bastidas and David Pardo and Ignacio Muga},
journal= {arXiv preprint arXiv:2305.09578},
year = {2023}
}