求解 Allen--Cahn 和 Cahn--Hilliard 方程的物理信息神经网络的先验误差估计
数值分析
2026-02-25 v2 数值分析
最优化与控制
摘要
物理信息神经网络（PINNs）在求解 Allen--Cahn (AC) 和 Cahn--Hilliard (CH) 偏微分方程（PDEs）时面临精度限制。为克服这一问题，我们采用了一种新颖的损失函数，即残差加权区域激活评估（Residuals-weighted Region Activation Evaluation, Residuals-RAE），其特征为一种预训练权重更新方案。与传统的权重随网络参数同时演化的自适应 PINNs 不同，Residuals-RAE-PINNs 在每一步训练前根据当前残差计算权重，并在梯度更新期间保持权重恒定。我们在标准神经网络优化假设下建立了权重收敛性，这证明了分析具有恒定权重的收敛网络是合理的。基于此理论框架，我们推导了采用 Residuals-RAE 的 PINNs 在求解 AC 和 CH 方程时的误差估计。该分析与用于积分离散化的蒙特卡洛采样保持一致，并与数值实验相符。在一维和二维 AC 及 CH 系统上的数值实验证实了我们的理论结果。此外，我们的分析表明，具有两个隐藏层和 tanh 激活函数的前馈神经网络，其解、时间导数及非线性项的近似误差受训练损失和配点数量的约束。
引用
@article{arxiv.2402.02667,
title = {A Priori Error Estimation of Physics-Informed Neural Networks Solving Allen--Cahn and Cahn--Hilliard Equations},
author = {Guangtao Zhang and Jiani Lin and Qijia Zhai and Huiyu Yang and Xujun Chen and Ieng Tak Leong and Fang Zhu},
journal= {arXiv preprint arXiv:2402.02667},
year = {2026}
}