最优控制问题的精确罚函数 II：终端与逐点状态约束的精确罚化

我们研究的第二部分致力于分析带终端与逐点状态约束的最优控制问题之罚函数精确性。我们证明，借助精确罚函数方法，可将具有控制输入凸约束的线性时变系统与线性演化方程的固定端点问题，在终端状态属于可达集相对内部时，化为完全等价的自由端点最优控制问题。在非线性情形，我们证明在线性化系统完全能控的假设下，可将固定端点与可变端点问题局部化为等价自由端点问题，并指出非线性系统的一些一般性质，在其下可实现到等价自由端点问题的全局化归。对于带逐点状态不等式约束的问题，我们证明：当使用 $L^{\infty}$ 罚项且 Slater 条件成立时，此类具凸状态约束的线性时变系统与线性演化方程问题可化为无状态约束的等价问题；而对非线性系统，若满足自然约束规范，则可局部化归。最后，我们证明：对凸问题，若对应于状态约束的 Lagrange 乘子属于 $L^{p'}$（其中 $p'$ 为 $p$ 的共轭指数），则可用有限 $p$ 的精确 $L^p$ 罚化状态约束；对一般非线性问题，若代价泛函不显含控制输入，亦可如此。