House 与 Weil 高度的 Northcott 数

对于代数数 $\alpha$ 与 $\gamma\in \mathbb{R}$，令 $h(\alpha)$ 为（对数）Weil 高度，$h_\gamma(\alpha)=(\mathrm{deg}\alpha)^\gamma h(\alpha)$ 为 $\alpha$ 的 $\gamma$-加权（对数）Weil 高度。设 $f:\overline{\mathbb{Q}}\to [0,\infty)$ 为代数数 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上的函数，$S\subset \overline{\mathbb{Q}}$。$S$ 关于 $f$ 的 Northcott 数 $\mathcal{N}_f(S)$ 是所有满足 $\{\alpha \in S; f(\alpha)< X\}$ 为无穷集的 $X\geq 0$ 的下确界。本文研究对于 house、Weil 高度与 $\gamma$-加权 Weil 高度，子环 $\overline{\mathbb{Q}}$ 的 Northcott 数集合 $\mathcal{N}_f(\mathcal{O})$。我们证明：(1) 每个 $t\geq 1$ 都是某个域的整数环关于 house 的 Northcott 数。(2) 对每个 $t\geq 0$，存在一个域，其关于 Weil 高度 $h(\cdot)$ 的 Northcott 数落于 $[t,2t]$ 中。(3) 对所有 $0\leq \gamma\leq 1$ 与 $\gamma'<\gamma$，存在一个域 $K$ 满足 $\mathcal{N}_{h_{\gamma'}}(K)=0$ 且 $\mathcal{N}_{h_\gamma}(K)=\infty$。对于 (1)，我们给出满足 Julia Robinon 性质 (JR) 类似物的例子、满足 Vidaux 与 Videla 隔离性质类似物的例子，以及两者均不满足的例子。条目 $(2)$ 涉及 Vidaux 与 Videla 提出的一个问题，因其通过 Julia Robinson 数与可判定性理论直接关联。条目 (3) 是对已知事实的强推广：存在满足 Lehmer 猜想但按 Bombieri 与 Zannier 意义非 Bogomolov 的域。