关于 $\mathbb{Q}^{tr}$ 扩张的一个注记

在本注记中，我们研究了绝对对数 Weil 高度 $h$ 在全实数域 $\mathbb{Q}^{tr}$ 的扩张上的行为。已知在 $\mathbb{Q}^{tr}$ 上，$h$ 的零值与下一个最小值之间存在间隙，而在 $\mathbb{Q}^{tr}(i)$ 中则存在具有任意小正高度的元素。我们证明了任何 $\mathbb{Q}^{tr}$ 有限扩张中具有小高度的所有元素均已位于 $\mathbb{Q}^{tr}(i)$ 中。这一结果肯定地回答了 Amoroso、David 和 Zannier 提出的一个问题：是否存在具有上述高度间隙的伪代数闭域。