非局部周长与变分：有限与无限时域下的极值性与可分解性

我们分析两种文献中可用的非局部周长——基于其所对应的半范数（seminorms）的Gagliardo周长与非局部分布式Caccioppoli周长，分别在有限与无限相互作用范围下，其极值性与可分解性。引入一种与这些周长相关的非局部不可分解性概念，并证明其仅可由相互作用范围或视界 $\varepsilon$ 来刻画。利用此性质，我们表明可唯一将集合分解为其 $\varepsilon$ 连通组成分，建立了非局部意义上的Ambrosio、Caselles、Masnou与Morel分解定理类比。此外，我们识别了由Gagliardo与非局部总变范围半范数诱导的球的极点，这自然对应于两种非局部周长。意外的是，前者的极点是规范化的 $\varepsilon$ 简单集的指示函数，类似经典TV球；后者的极点则来自于应用于TV球极点上的非局部变换。最后，我们通过 $\varepsilon \rightarrow 0$ 时的 $\Gamma$-极限探讨非局部向局部的过渡，恢复经典Caccioppoli周长。