迈向混沌动力系统可观测量极值的一般理论

本文建立了混沌动力系统的几何性质与极值分布之间的联系。我们证明了所谓物理可观测量的极值服从经典的广义帕累托分布，并推导了尺度参数和形状参数的显式表达式。特别是，我们推导出形状参数不依赖于所选的可观测量，而仅取决于不变测度在稳定、不稳定和中性流形上的偏维数。形状参数为负，且在考虑高维系统时接近于零。这一结果与近期使用广义极值方法推导出的结果一致。结合使用此类物理可观测量的结果与距离可观测量的极值性质，可以推导出沿流的稳定和不稳定方向的吸引子偏维数的估计值。此外，通过将形状参数表示为所考虑可观测量极值的矩，并利用线性响应理论，我们将形状参数对扰动的敏感性与矩、偏维数以及吸引子的 Kaplan-Yorke 维数的敏感性联系起来。初步数值调查为本文所述理论的适用性提供了令人鼓舞的结果。此处展示的结果并不适用于所有 Axiom A 系统与可观测量的组合，但其失效似乎与非常特殊的几何构型有关。