Heisenberg 群上的非局部热方程

我们研究 Heisenberg 群 $\mathbb{H}_n$ 上的如下非局部扩散方程，$$u_t(z,s,t)=J\ast u(z,s,t)-u(z,s,t),$$ 其中 $\ast$ 表示卷积积，$J$ 满足适当的假设。对于 Cauchy 问题，我们得到解的渐近行为与 Heisenberg 群上热方程的解具有相同的形式。为了得到这个结果，我们使用了与对 $(U(n),\mathbb{H}_n)$ 相关的球面变换。最后，我们证明了经过适当重缩放的非局部 Dirichlet 问题的解一致收敛到 Heisenberg 群上经典热方程对应的 Dirichlet 问题的解。