Heisenberg 群上 Schrödinger 算子的局部色散与 Strichartz 估计

H. Bahouri、P. G{\'e}rard 与 C.-J. Xu 在 [9] 中证明，Heisenberg 群 $\mathbb{H}^d$ 上涉及子 Laplacian 的 Schr{"o}dinger 方程是完全非色散演化方程的一个例子：因此全局色散估计不可能成立。本文旨在通过精细研究 $\mathbb{H}^d$ 上的 Schr{"o}dinger 核 $S_t$，建立 $\mathbb{H}^d$ 上线性 Schr{"o}dinger 方程的局部色散估计。通过若干例子讨论了这些估计的尖锐性。我们的方法基于 B. Gaveau 在 [20] 中导出的 $\mathbb{H}^d$ 上热核的显式公式，通过结合复分析与 Fourier-Heisenberg 工具得以实现。作为我们结果的副产品，我们建立了局部 Strichartz 估计，并证明核 $S_t$ 集中于 $\mathbb{H}^d$ 的量子化水平超平面。