活性运动自由边界模型中的非线性稳定性

一大类活细胞的收缩驱动自推进可以通过具有自由边界的 Keller-Segel 系统来建模。由此产生的“活性”系统同时表现出耗散和反耗散，具有稳态解和行波解。前者代表静态细胞，后者描述模拟相同细胞自主运动的传播脉冲（孤立波）。在本文中，我们首次提供了这两种解（静态和动态）的渐近非线性稳定性的证明。对于稳态解，线性稳定性是利用紧自伴算子的谱定理建立的，因此线性稳定性仅由特征值经典地确定。对于行波，情况更为复杂，因为线性化问题是非自伴的，这开启了相空间中一个在纯粹的特征值/特征向量方法中不可见的“暗”区的可能性。为了在这种情况下建立线性稳定性，我们采用谱方法以及 Gearhart-Pruss-Greiner (GPG) 定理，该定理通过对预解算子的界限来控制整个谱。对于稳态解和行波解，非线性稳定性随后通过展示问题的非线性部分如何被线性部分支配，然后利用 Gronwall 不等式论证来证明。所开发的新方法也可能在涉及非自伴（非厄米或非互易）算子的其他问题中证明有用，这些算子在“活性”物质的建模中无处不在。